中学校の数学で学習する一次関数 \({y} = {ax} + {b}\) という単元
このあたりの単元になってくると、出題される問題は複雑になっていきます。
テストで出題される問題が分からないわけでは無いけれど時間が足りない。。。
そんなことが増えていきます。その理由は問題を悩む時間が長いからです。
難しい単元のテストで点数をとるためには簡単な問題を解くスピードを上げる必要があります。
今回は「一次関数のグラフから関数を求める」問題を一発で解く方法を解説します。
何故その方法でよいかについても理論的に説明します。もちろん正攻法なので
テストで使っても怒られることは無いです。
当ブログでは
・うちの子算数苦手かも、、と悩む保護者の方
・自分も算数が苦手だったから、、と悩む保護者の方
そんな方向けに数学科卒の私が
「算数=苦手」を解消するために保護者ができること
を紹介しています。
本記事は以下について書いています。
一次関数のグラフから関数\({y} = {ax} + {b}\) を求める方法
一次関数とは \({y} = {ax} + {b}\) という形で表される関数です。グラフの形から
その関数を求める簡単な方法を説明します。
関数を求めるとは、\({y} = {ax} + {b}\) の\({a}\) と \({b}\) を求めるということです。
\({a}\) と \({b}\) を求める簡単な方法は以下の通りです。
①y軸とグラフが交わる点が \(({0,b)}\)
②グラフの \({x} = {1}\) の点 \({(1,c)}\) に対して、\({c} – {b} = {a}\) が成立する
文字だけだと理解しにくいので実際に問題で使ってみましょう。
上のグラフから関数 \({y} = {ax} + {b}\) を考えてみましょう。
①について、y軸とグラフの交点を考えます。これは上のグラフから\({(0,1)}\) です。
つまり \({b} = {1}\) と求まります。
②はグラフ上の \({x} = {1}\) の点を考えます。これも上のグラフから\({(1,1.5)}\) です。
つまり \({1.5} – {1} = {0.5}\) となり、 \({a} = {0.5} = \frac{1}{2}\) と求まります。
よって求める関数は \({y} = \frac{1}{2} {x} + {1}\) です。
関数の傾きが負の時も考えてみましょう。
上のグラフから関数 \({y} = {ax} + {b}\) を考えてみましょう。
①について、y軸とグラフの交点を考えます。これは上のグラフから \({(0,-2)}\) です。
つまり \({b} = {-2}\) と求まります。
②はグラフ上の \({x} = {1}\) の点を考えます。これも上のグラフから \({(1,-4)}\) です。
つまり \({-4} – {(-2)} = {-2}\) となり、 \({a} = {-2}\)と求まります。
よって求める関数は \({y} = {-2x} – {2}\) です。
〇y軸とグラフの交点からbが求められる
〇グラフのx=1の点からaが求められる
関数\({y} = {ax} + {b}\)が一発で求められる理由
先ほどの方法
①y軸とグラフが交わる点が \(({0,b)}\)
②グラフの \({x} = {1}\) の点 \({(1,c)}\) に対して、\({c} – {b} = {a}\) が成立する
これで関数 \({y} = {ax} + {b}\)が求められる理由を考えてみましょう。
まずは切片 \({b}\) についてです。切片はy軸とグラフとの交点です。
なので、そのまま①の方法で求められます。
では傾き \({a}\) についてです。さて傾きの定義はどうだったでしょうか。
傾き \({a} =\frac{(yの変化量)}{(xの変化量)}\)
このように習います。ではxの変化量、yの変化量それぞれはどのように考えればよいでしょうか。
関数\({y} = {ax} + {b}\)について、 \({({x_1},{y_1})}\) と \({({x_2},{y_2})}\)を通る時
\({(xの変化量)} = {x_1} – {x_2}\)
\({(yの変化量)} = {y_1} – {y_2}\)
このように求められます。つまり傾きは次のようになります。
傾き \({a} =\frac{({y_1} – {y_2})}{({x_1} – {x_2})}\)
一次関数ではグラフ上のどんな2点でもよいので上の式に当てはめれば傾きが求められます。
ということはできるだけ計算が簡単な2点をとったほうが良いです。
ここで、\({({1},{y_1})}\) と \({({0},{y_2})}\) の2点で傾きを考えてみるとどうでしょうか。
傾き \({a} =\frac{({y_1} – {y_2})}{({1} – {0})} = {y_1} – {y_2}\)
簡単な引き算で傾きを求めることができます。数学の問題を解くうえでは難しい計算はできるだけ避け
簡単な計算をしたほうが良いです。ミスが減り、とれる点数を取りこぼすことが無いです。
傾き \({a}\) はグラフ上の \({({1},{y_1})}\) と \({({0},{y_2})}\) の2点から求めたほうが無難です。
〇切片 \({b}\) はy軸とグラフとの交点
〇傾き \({a}\) はグラフ上の \({({1},{y_1})}\) と \({({0},{y_2})}\) の2点から
まとめ
今回は「一次関数のグラフから関数 \({y} = {ax} + {b}\) を一発で求める方法」について解説しました。
数学は単元が進むとどんどん複雑な内容になっていきます。テストの問題も難しいものが増えてきます。
考えればわかるけど時間がかかる、、なんてものばかりでは時間が足りず点数が伸びません。
簡単な問題をスピーディに解けるようにすることがテストで点数を稼ぐコツです。
一次関数の問題ではグラフからその関数を求めるという問題も出ると思います。
また、難しい問題になるとグラフから関数を求めたうえでさらに問題を解かせることもあります。
今回説明したグラフから関数を一発で求める方法で問題を解くスピードをあげられたらと思います。
今後も数学の問題を簡単に解くコツについて紹介してくのでチェックしてみてください。
当ブログでは算数が苦手だったのになぜだか大学の数学科専攻になった私が
お子さんが算数や数学でつまずかないためのヒントを紹介しています。
「どう教えたらいいか分からない」そんな保護者の方の助けになればと思います。
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