加減乗除が混ざった式はどのように解きますか？大人になってから数式を解くことは
ほとんどないですが、いざ解いてみると手順があやふやかもしれません。
お子さんから「この式解いてみて」と言われたときうまく解けるでしょうか。
特に中学生以降の数学では\({a}\)やら\({b}\)やら文字が出てきたり、\(()\)が出てきたり。
計算の順序を間違うと正しい答えにたどり着けなくなります。
お子さんも計算の順序に困っているかもしれません。
加減乗除や\(()\)が混ざった式を解くには守るべき手順があります。
手順を守れば計算に迷うことなく問題を正確に、かつスピーディに解くことができます。
今回は加減乗除や\(()\)が混ざった式を解くコツについて解説していきます。
当ブログでは
・うちの子算数苦手かも、、と悩む保護者の方
・自分も算数が苦手だったから、、と悩む保護者の方
そんな方向けに数学科卒の私が
「算数=苦手」を解消するために保護者ができること
を紹介しています。
本記事は以下について書いています。
加減乗除や\(()\)が混ざった式を解く手順
加減乗除や\(()\)が混ざった式を解く手順は以下の通りです。
①小数は分数に変える。
②式の中のすべての「\({÷a}\)」を「\({×}\frac{1}{a}\)」にする。
③「\(()\)の中身」をできるだけ整理する。
④「\({×}\)」の符号のみ左側から計算する。
⑤残った「\({+}\)」や「\({-}\)」を左側から順に計算する。
実際にこの手順で計算してきます。
\({0.7} + {6} ÷ {2} – {({1} + {4})}\)
\({=} \frac{7}{10} + {6} ÷ {2} – {({1} + {4})}\)
\({=} \frac{7}{10} + {6} × \frac{1}{2} – {({1} + {4})}\)
\({=} \frac{7}{10} + {6} × \frac{1}{2} – {5}\)
\({=} \frac{7}{10} + {3} – {5}\)
\({=} \frac{37}{10} – {5}\)
\({=} -\frac{13}{10}\)
この式を計算してみましょう。
①より、小数を分数に変える。
②より、割り算を分数に変える。
③より、\(()\)の中身を計算する。
④より、掛け算\({6}×\frac{1}{2}\)を解く。
⑤より、足し算\(\frac{7}{10} + {3}\)を解く。
⑤より、引き算\(\frac{37}{10} – {5}\)を解く。
補足ですが、\({÷} {({3}+{4}×{2})}\)など割り算記号の後ろが\(()\)の場合は
\({÷} {({3}+{4}×{2})} = {×} \frac{1}{({3}+{4}×{2})}\)としましょう。\(()\)はとても強力なものなのでひと塊で考えます。
加減乗除が混ざった計算式を解くためのポイント
加減乗除が混ざった式を正しく解くためには抑えるべきポイントがいくつかあります。
中でも重要なのは割り算を正しく行うことです。一番厄介なのは割り算です。
次の例を見てみましょう。
\({8}÷{4}÷{2}\)
\({8}÷{2}\)
\({4}\)
\({8}÷{4}÷{2}\)
\({2}÷{2}\)
\({1}\)
この式を計算するときに
勝手に「\({4}÷{2}\)」を先に計算したらどうでしょう。
答えは「\({4}\)」となりそうです。
しかしこれは間違いです。
「\({8}÷{4}\)」を先に計算するのが正しいです。
正しい答えは「\({1}\)」です。
計算式のルールとして、
「計算記号（＋、-、×、÷）はその前後にしか作用しない。計算は基本的に左から行う。」
というものがあります。実はこのルールを守らないと上のようなことが起きます。
〇割り算の計算が一番重要
この手順で失敗しない理由
①小数は分数に変える。
②式の中のすべての「\({÷a}\)」を「\({×}\frac{1}{a}\)」にする。
③「\(()\)の中身」をできるだけ整理する。
④「\({×}\)」の符号のみ左側から計算する。
⑤残った「\({+}\)」や「\({-}\)」を左側から順に計算する。
先ほど述べた以下の手順で失敗しない理由を見ていきます。
一番厄介なのは割り算でした。では割り算を正しく行うにはどうしたらよいでしょうか。
ここで②の手順です。割り算は逆数を掛けることと同義です。また、\(\frac{1}{0.3}\)などは考えにくいので
あらかじめ①で小数は分数に変えておきます。これで厄介な割り算は消えます。
割り切れるのか分からないまま頑張って計算するより、分数の形で置いておいたほうが計算は楽です。
さらに、①と②の手順によって「計算記号はその前後の数しか作用しない」
というルールにも対応できています。
\({8}÷{4}÷{2}\)
\({=} {8} ×\frac{1}{4} × \frac{1}{2}\)
この例で考えた時
②の手順で計算の順を間違うことが無くなります
厄介な割り算が消えたのであとは、計算の優先度順に計算していきます。
計算の優先度としては、「\(()\)の中身」→「掛け算」→「足し算、引き算」です。
そのため③、④、⑤の順に計算していきます。
〇割り算を回避するように工夫する
〇計算の優先度を守る
イレギュラーな例：\({6}÷{2}{({1}+{2})}\)
とある計算式の答えについて数学者をも巻き込み論争になったものがあります。
\({6}÷{2}{({1}+{2})}\)
この計算式の答えはどうなるでしょうか。これが\({1}\)なのか\({9}\)なのかで論争になりました。
先ほどの計算の手順で計算するとどうなるでしょうか。
\({6}÷{2}{({1}+{2})}\)
\({=} {6}×\frac{1}{2}×{({1}+{2})}\)
\({=} {6}×\frac{1}{2}×{({3})}\)
\({=} {9}\)
まずは②の手順からです。
②の手順で\({÷}{2}\)を\({×}\frac{1}{2}\)にします。
③の手順から\({({1}+{2})} = {3}\)とします。
後は④の手順で答えは\({9}\)です。
あれ？と思った方もいると思います。実はこの流れには違うやり方があります。
\({6}÷{2}{({1}+{2})}\)
\({=} {6}×\frac{1}{{2}({1}+{2})}\)
\({=} {6}×\frac{1}{{2}({3})}\)
\({=} {1}\)
やはりまずは②の手順からです。
②の手順で\({÷}{2}{({1}+{2})}\)を\({×}\frac{1}{2}{({1}+{2})}\)にします。
③の手順から\({({1}+{2})} = {3}\)とします。
後は④の手順で答えは\({1}\)です。
重要なのは\({2}{({1}+{2})}\)というものをどのようにとらえるかです。
・\({2}×{{({1}+{2})}\)と掛け算が含まれると捉える
・\({2}{({1}+{2})}\)でひと塊と捉える
どちらで捉えるかによって計算の結果が変わってしまいます。
ではどうしたらよいのでしょうか？実際この計算式は2通りの答えがあるとして
数学としては「このような書き方自体が誤解を生むため望ましくない」という結論になります。
数学では計算式の捉え方が分かれてしまうような書き方は避けるべきという考え方です。
この例では、紹介した手順でも迷ってしまいますがそんなケースは基本的にないと思ってよさそうです。
〇答えが1通りにならない計算式もある
〇しかしそれは書き方自体が悪い
まとめ
今回は「加減乗除が混ざった式を計算するコツ」について解説しました。
計算を素早く正確に解くことは数学の問題を解くうえでとても重要です。
そのため小学校の算数ではたくさんの問題を解かされると思います。
何回も解く計算式に対して、なんとなくの手順で計算していては間違ってしまう可能性があります。
早いうちから正しく解ける手順を身に着けたほうが単元が難しくなっても計算がしっかり行えます。
今回紹介した手順だけが正しいというわけではありませんが
計算の手順に不安がある場合は、この手順でやってみて自分なりのコツをつかんでみてください。
当ブログでは算数が苦手だったのになぜだか大学の数学科専攻になった私が
お子さんが算数や数学でつまずかないためのヒントを紹介しています。
「どう教えたらいいか分からない」そんな保護者の方の助けになればと思います。
ぜひ他の記事も参考にしてください！
